【每日算法Day 3】新21点：动态规划结合反序求解
Wallace Xu 2020-06-03 动态规划
看到这题倍感熟悉而陌生，小时候和隔壁哥哥玩过12点半的游戏比拼风险承受能力，和题目类似。然而从来没有用动态规划的思想去考虑过这个问题，这也是我第一次遇到反序求解的题目。开始拿到这题，确实看到其多阶段的特性感觉可以尝试用DP来做，但是一般情况下没法直接给出第一步抽牌后的概率所以就卡住了。所以还是要多看多做呀。
# 题目链接
LeetCode 837. 新21点 (opens new window)
# 题目描述
爱丽丝参与一个大致基于纸牌游戏 “21点” 规则的游戏，描述如下：
爱丽丝以 0 分开始，并在她的得分少于 K 分时抽取数字。 抽取时，她从 [1, W] 的范围中随机获得一个整数作为分数进行累计，其中 W 是整数。 每次抽取都是独立的，其结果具有相同的概率。
当爱丽丝获得不少于 K 分时，她就停止抽取数字。 爱丽丝的分数不超过 N 的概率是多少？
0 <= K <= N <= 10000； 1 <= W <= 10000
# 示例
输入：N = 10, K = 1, W = 10
输出：1.00000
说明：爱丽丝得到一张卡，然后停止。
输入：N = 6, K = 1, W = 10
输出：0.60000
说明：爱丽丝得到一张卡，然后停止。
在 W = 10 的 6 种可能下，她的得分不超过 N = 6 分。
输入：N = 21, K = 17, W = 10
输出：0.73278
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# 解题思路
一般情况下，N和K是大于W的，所以第一抽往往是不能像示例1和2那样直接给出概率的，仅仅抽牌过程的最后一抽可能给出抽到相应数字的概率。记抽到i分且可继续抽牌时分数不超过N的概率为p(i),则p(i)=1/w*(p(i+1)+p(i+2)+...+p(i+w)),i<k。而能直接给出p(k)~p(n)=1,p(n)~p(k-1+w)=0。这就是从后向前的反序求解,而p[0]就是没开始抽牌时全部可能选择的总概率。
public double new21Game(int N, int K, int W) {
if (K == 0) {
return 1.0;
}
double[] p=new double[K+W];
for (int i = K; i <= N && i < K + W; i++) {
p[i] = 1.0;
}
p[K - 1] = 1.0 * Math.min(N - K + 1, W) / W;
for (int i = K - 2; i >= 0; i--) {
p[i] = p[i + 1] - (p[i + W + 1] - p[i + 1]) / W;
}
return p[0];
}
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# 总结
这一题理解得还是有些不透彻吧，动态规划形式多样，还是需要多见识做到手熟才行。
9.8补充：回顾了这一题
public double new21Game(int N, int K, int W) {
double[] dp = new double[K + W];
//使用一个变量来保存W个概率的和
double sum = 0.0;
//初始化第K到第K+W-1范围内的W个数，因为达到这些数就不会再抽牌，根据每个数和N的关系，赋初始值
for (int i = K; i < K + W; i++) {
dp[i] = i <= N ? 1 : 0;
sum += dp[i];
}
//从第K-1个数到第0个数（第0个数表示没做选择时的概率）根据后面的W个概率取平均值，再更新W个概率的和
for (int i = K - 1; i >= 0; i--) {
dp[i] = sum / W;
sum -= dp[i + W];
sum += dp[i];
}
return dp[0];
}
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